Betty

关于中国传统笔算的一点心得

最近突然为一个问题感到困惑不解，为什么算盘要分为上下两栏？梁上的每个珠子代表五，梁下的每个珠子代表一？为什么不是直接用十个珠子，每个珠子代表一？用十个珠子的话，可能准确点数珠子需要更加集中注意力（十个珠子要数清楚肯定比五个珠子费力），但珠算的规则可以大大的简化，几乎完全不用背诵“六上一去五进一”之类的口诀，只要会十以内的加减法就行了。而且，这样珠算的表现形式几乎就可以和纸上的形式一一对应，可以完全转移到纸上，可以和笔算互相印证。为什么不呢？

为了搞清楚这个问题，查找了一些资料，顺便发现中国古代不是只有毛笔，而是有很多硬笔的，比如石墨做的铅笔、和近代西方钢笔极为类似的竹制蘸水笔、还有鹅毛笔。“翰林”这个词大家都知道是很有学问的文化人，可大概很少人知道这个“翰”的意思就是羽毛笔。硬笔在制图、绘画等需要单纯线条的方面用的比较多，估计也会用于笔算。

1972年在甘肃武威张义堡遗址中发现的双瓣合尖竹管笔

经过搜寻，没有找到算盘问题的答案，却窥见了中国古代数学的发达强大。可惜，数学也像中国传统文化的许多其他方面一样，在满清入关之后日趋衰亡。我通过分析资料中举的例子，揣摩出了古代笔算一些基本用法，在此记下来免得以后忘了。 ^^
主要资料来源于这里，是个pdf。

记录数字的符号
实际上我认为汉字本身作为计数符号就相当好，笔画少，组合规则简单直观，有数位概念。欧洲语言中的数字太复杂冗长，以至于他们不得不借助于别的符号，甚至有的语言本身的数字表达法就是一团乱麻，比如法语，70说成60+10（Soixante-dix），71是60+11，以此类推79就是60+10+9。而80就是4×20（Quatre-vingts）。到了说99，那就要用得上三则运算了：4×20+10+9（Quatre-vingts-dixneuf）……

明朝数学家孙元化显然同意我的观点，比如他说三千六百九十三写成“三六九三”就行。

不过在之前的唐宋乃至更早的时期，人们一般不用汉字，而是用“数码”来记录数字。因为那时的计算工具主要是算筹，就是“运筹帷幄之中决胜千里之外”的那个算筹，也叫“算子”，《射雕》中的神算子瑛姑用的就是这个，用算筹摆出的数字就是“筹码”，其实就是一根一根的小竹签，摆在地上代表数字，把这种竹签的形状描到纸上，就是数码。一根就代表一，两根平行放就代表二，三根代表三，四根代表四，那么五用什么代表？两根交叉即可。六是上面一根，下面在垂直方向再放一根。七是上面一根，下面在垂直方向再放两根。八九以此类推。

那么似乎很明显，算盘的上下两栏、上栏数字代表五的做法是从算筹而来。不过算筹和算盘各自有不同的特点，一个数就平行放九根算筹，再连着排几个数，就几乎没法看清是几了，但算盘不一样啊。好吧，其实应该说，我知道算盘为什么会这样，我知道它的起源；但我想知道它为什么保持这样，没有变成别的样子，比如一列十个珠子。在我看来，数珠子的成本要远远少于在两套代表系统（一代表五和一代表一）之间切换和背诵超级复杂口诀的成本。

回到数码，如果把算筹的形状写到纸上，那么从一至九依次是：

可以看出，数码有横式和竖式两套，写长数字的时候横竖交替使用，既美观又不容易与相邻的弄混。（比如把“朱月坡”看成“朱肚皮”……）

其实汉字的“一二三四五六七八九”也是从这些形状形变而来。不过汉字可以形变，算筹和数码却不能形变，于是就慢慢发展成两套系统了。

数码的写法，各个数学家可能有出入，不过总体是大同小异。

〇
中国数学中早就有“0”的概念，最初是用空一位来表示，至迟到宋代，已用圆圈“〇”来表示了。

正负数
正负数的概念也是一早就有了，一般用红色算筹代表正数，黑色算筹代表负数。写在纸上的数码，有的是直接在数字后面用汉字标明正负，有的是在负数上加一道斜划。

分数、小数
分数好写，就跟现在一样，中间划道线，上面写分子，下面写分母。
小数的处理各家有所不同，一般是个位数对准，有的在个位数下面加注单位。

一元高次方程

上图是南宋大数学家秦九韶所著《数书九章》中的“遥渡圆城”题中的算式（据“宜稼堂丛书”本），左边的部分相当于这样一个方程式：

可以看出，中国传统数学的写法相当于把现代的方程式逆时针旋转了90度，最上方写常数项，然后从上往下依次从低次项写到高次项。旁边有汉字附注，“正”“负”表明正负数，“里”是单位（因为这是应用题），“实”表示常数项，“方”表示一次项的系数，“隅”表示最高次项的系数，“星廉”“行廉”等是各项的系数，可以想见，中国古代数学家给各次方都起了一个独特的名字。为0的项既用了“〇”，又在后面注明了“虚”。这题的答案是三。

矩阵

上图是《数书九章》中的“均货推本”题中的“首图”与“次图”（据“宜稼堂丛书”本），它的上半部分相当于这样一个矩阵：

依旧，常数项写在最上面，其他各项从上往下依次写。这里的“五”是用五个平行笔划表示。然而，我没看出“五十八又三分之一”的三分之一是怎么表示的，也许是有个我不懂的特殊标记？但此图的下半部分明显是对上半部分的变换，含有“五十八又三分之一”的那一列的每个系数都被乘以三，把分数转化成了整数，因此就变成了[175 0 0 156 | 31800]，所以上面那个数必须是“五十八又三分之一”。
此例可以明显看出“〇”的使用非常成熟。

欧洲的笔算
欧洲的加减号出现于15世纪，乘除号出现于17世纪，等号发明于1557年，正负号的使用也在17世纪，小数点由Napier（1550-1617）发明。17世纪之后，欧洲的笔算才由早期逐渐进入近代。

明代
明代筹算已经逐渐退出历史舞台，数学家直接用笔算，民间则是珠算大行其道。虽然当时欧洲的笔算整体上不如中国先进，没有负数符号，小数记法极为繁琐，但明朝仍然翻译出版了一些关于西方数学的书籍，数学家孙元化、梅文鼎等都比较了中西演算，推崇西法的一些优点，将之与中国传统演算法相结合。此时的中国并不固步自封，而是提倡学术交往、关注世界潮流，西方有了新的进展，在中国也会很快有翻译、介绍。

清代
中国人已经根本不知道筹算为何物，连国家钦天监的天算家都不知道，当他们在朝鲜见到算筹时感到万分惊奇，其震惊大概不下于在朝鲜见到翻版华夏衣冠吧。笔算基本陷于停滞状态，直到清末西方新式笔算再次传入中国，1900年左右开始使用印度-阿拉伯数字，中国传统笔算完全被西方笔算系统所取代。

逆水行舟，不进则退。当中国停滞的时候，别人却在一日千里的发展。先进很快就变成了落后。三百年的时间让中国陷入了深渊，不知道是否也需要三百年来挽回。

文中可能有错漏之处，欢迎指正。

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