《二维国》简介

《二维国》是一位英国牧师艾勃特（Edwin A.Abbott，1838-1926）于1884年写的小册子。这是历史上第一本讨论不同维数世界的作品，既是科普，又是科幻，也充满对现实社会的隐喻。本书构思精巧，语言通俗，时隔一百多年，读来依然生动有趣。

下面是我对本书主要内容的概括。

二维国里，边数越多社会地位越高。

女性是直线。（两腰很长、底边很短的）等腰三角形是下等人。等边三角形是中产阶级、商人。四边形（指正四边形，即正方形。下文除特别说明者外，各种多边形均指正多边形。）是知识分子。五边形是绅士。再往上是贵族。当他们的边数增多(而边长同时缩短)到与圆没有多少区别时，就进入了圆的行列，圆是神职人员，属于最高的社会阶层。

这里有一条自然法则：男孩总能比他父亲多生出一条边来。四边形的儿子是五边形，而五边形的儿子是六边形，以此类推。按此规律，每一代就会提高一个等级，直至成为贵族。

等腰三角形的儿子还是等腰三角形。如果他聪明、勤奋、品德高尚或运气上佳，他的儿子也许会获得更长的底边和更短的腰，从而更接近一个正三角形。经过许多代的努力和运气，等腰三角形家庭有可能最终生出一个正三角形儿子，走上通往上层社会的道路。这个可能性很小，但却足以维持下层社会的人们心存希望，不起来造反。

等腰三角形的两腰很长、底边很短，因此他们有一个尖角。这个尖角很有杀伤力，可以把别的二维国臣民刺死。但是有一条自然法则：智力越低角越尖，智力越高角越钝。这再次减小了底层人民造反成功的可能性。

二维国的女性地位极低，她们没有机会受教育，行动不得自由，而且被认为智力低下、毫无理性。

越是多边形，生育率越低。因此二维国中下等阶层人数众多，上等阶层人数较少。

二维国人们互相辨认的方法。

想象一下就会明白，在三维空间才能看到平面图形，在二维空间只能看到直线和点。无法通过普通视觉来辨认形状。（设想你的视角和桌面在一条水平线上，桌面上平铺的一张纸在你眼中会显示成一条线，只有让眼睛高于这个平面才能看出这张纸的形状。）

有效方法：

1，听觉。此法用处有限。

3，触摸。因为都是正多边形，摸出一个角的角度即可判断对方的形状。至于等腰三角形那个大尖角，更是再笨的人也能摸出来的。低等阶层常用。对高等阶层不适用，如二十边形和二十四边形之间区别很小，很难摸出来。

3，视觉。因为二维国中多雾，远处的物体看起来比近处的物体模糊。当然远处的物体看起来也比近处的物体小。这两点结合起来，就可以判断对方离自己的距离和实际边长，从而判断其形状。知道了这个原则，但要在实践中判断多个以不同速度往不同方向运动的多边形还是很困难的，需要较高的智力水平、丰富的几何知识和足够的实践经验，所以贵族的孩子从小就学习视觉辨认知识，要花费多年才能完成学习。下层阶级是无缘接触这种知识的。

有些贵族子弟未能通过结业考试。有些会生下不规则的多边形。他们比下层人聪明，又受到上层人的鄙视，往往成为社会的不安定因素。历史上的暴动骚乱基本都是他们领导的。

历史上的色彩热

曾经有一位五边形发现了色彩和着色的方法，把自己涂上了颜色。大家纷纷模仿。渐渐地，通过色彩就能辨认彼此，无需学习触摸和视觉辨认术，而涂上颜色的下等阶层也感觉自己和上等阶层没有多少区别，原来的等级制度和社会秩序摇摇欲坠。上等阶层试图武装镇压这一反政府趋势，然而他们的武力比不上有尖角且数目众多的等腰三角形们。

这时发生了一件事：一个低等的等腰三角形通过涂色把自己涂抹成一个十二变形，欺骗一位贵族少女嫁给了他，婚后女孩发现被骗，痛苦地结束了自己的生命。

这个悲剧对妇女们震动极大。圆们利用这个机会召开国民大会，在会上利用挑拨离间等阴谋手段残酷地镇压了下等阶层，残杀了几十万人，巩固了自己的统治。从此颜色成为禁忌，二维国再也没有颜色，也无人敢谈论颜色。

一维国

本书的作者是二维国的居民，一个四边形。他在梦中拜访了一维国。

一维国只有一条直线。直线上有许多线段和点，线段是男人，点是女人，国王是最长的那根线段。

所有人都只能沿着这条直线运动，他们无法穿过对方或绕过对方，因此邻里关系是永恒固定的。

一维国的居民只能看见点。他们无法通过视觉辨认对方，因此他们的听觉极其发达。男人的线段两端各有一张嘴，一个发出男高音，一个发出男低音，他们用两张嘴发出声音，其他人通过判断声音到达的时间间隔，可以判断出这条线段的长度。

一维国的居民通过齐声唱歌寻找和谐共鸣音的方式寻求配偶。男人两端的嘴分别与一个女人相配，男低音配女高音，男高音配女低音，三个人结成婚姻。他们生下的孩子也会是一女二男的比例。

本书作者试图对一维国的国王进行启蒙，告诉他世界上除了一维直线之外还有二维平面这种东西。他向国王展示自己这个四边形的运动，但是国王只能看见一个点的出现和消失。国王无法理解除了沿着这条直线运动之外，还有“左右”这样的运动方向。无论作者如何努力，一维国国王还是无法理解二维这种东西。

三维国

来自三维国的球体拜访了本书作者四边形。

开始作者以为那是一个圆，但是这个圆却会改变大小。（想象一下球体与水平面相交形成的圆，球体改变上下位置的话，圆的大小就会随之改变。）

球体试图向作者传达三维空间的真理，但作者就像一维国国王无法理解二维平面一样，始终无法理解三维空间。球体的上下运动，在他看来只是线段的变长变短出现消失。他无法理解除了东南西北的运动之外，还有“上下”这种运动方向。

最后球体无奈，把作者带出了二维国。作者在上方俯瞰二维国，终于明白了三维空间的意思。

接着作者提出，按照同样的推理，肯定也有四维国，他请求球体带他去四维国看一看，甚至还有五维国、六维国等更高的维数空间。这个要求却惹恼了球体，他把作者又扔回二维国。

零维国

作者又做了一个梦，球体带他去了零维国。

零维国只有一个点。

“那个点也像我们一样有生命，可是被限制在无维之谷。它自己就是它的整个世界，就是它的全部宇宙；除了自己以外，它没有任何其它的概念，不知道何者为长、宽、高，因为它没有体验过；它甚至不晓得2这个数，他也不认为有更大的数，因为它自己是1，1便是一切。”

你无法与他进行交流，因为它根本听不见你说话。

“它无法理解，除了它自己之外，世界上还会有别的任何事物。”

尾声

在二维国里，三维理论是禁忌。作者因为谈及三维理论而被终身监禁。

在狱中，作者试图写书来传播三维理论。遗憾的是，他感到自己脑中三维空间的印象也渐渐模糊，立体的形状也日渐不真切。在二维国，无法指出“向上”到底是哪个方向。但是他牢牢记住了“向上，而不是向北”这句话，在梦中也常常听到。

Betty按：

1，可能是由于翻译原因，可能是由于年代原因，可能是由于数学术语和口语的差异，可能是由于叙事的需要，书中有些说法从今天的数学观点看可能不严谨。比如书中没有区分直线和线段，书中说直线（其实是线段）是宽极小的矩形，书中说点和线有极小的厚度，等等。但是瑕不掩瑜，这些问题应该不会影响阅读本书的趣味。

2，本书英文原名Flatland，直译的话应该是“平面世界”。与英文原文对应，two-dimensional world是“二维国”或“二维世界”，是对这个世界的解释；Flatland是“平面国”或“平面世界”，是这个世界的名称。

书中的“一维国”原文是Lineland，零维国是Pointland，三维国是Spaceland，同理应为“直线世界”、“点世界”和“空间世界”。

传统上，XXland一般都翻译成“某某国”，我感觉land和“国”的内涵是有差别的，但是翻译成“某某世界”好像也有歧义。

“二维国”这种说法虽然和原文不严格对应，但对中文读者来说倒是既少歧义又很直观。

3，在这里可看《二维国》一书全文：http://www.douban.com/group/topic/9500827/

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